Trigonometria Exemplos

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 2.6.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.4

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.6.4.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.6.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $\sin (x) + 1$ e $1 + \sin (x)$ .

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Etapa 2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$ é uma identidade