Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})$

Etapa 1

Para escrever $\frac{5 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\tan (\frac{5 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\tan (\frac{20 π - π \cdot 3}{12})$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\tan (\frac{20 π - 3 π}{12})$

Etapa 5.3

Subtraia $3 π$ de $20 π$ .

$\tan (\frac{17 π}{12})$

Etapa 6

O valor exato de $\tan (\frac{17 π}{12})$ é $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{17 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Etapa 6.2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.3

Change the $\pm$ to $+$ because tangent is positive in the third quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$ .

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Etapa 6.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Etapa 6.4.7

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 6.4.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Etapa 6.4.9

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Etapa 6.4.10

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Etapa 6.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Etapa 6.4.12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Etapa 6.4.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.13.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Etapa 6.4.13.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Etapa 6.4.14

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Etapa 6.4.15

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Etapa 6.4.16

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Etapa 6.4.17

Simplifique.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Etapa 6.4.18

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Etapa 6.4.19

Expanda $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Etapa 6.4.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Etapa 6.4.19.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.4.20

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.4.20.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.20.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.4.20.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.4.20.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Etapa 6.4.20.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Etapa 6.4.20.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Etapa 6.4.20.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Etapa 6.4.20.2

Some $4$ e $3$ .

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Etapa 6.4.20.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$