Trigonometria Exemplos

$\tan (105)$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $105$ pode ser dividido em $45 + 60$ .

$\tan (45 + 60)$

Etapa 2

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Etapa 3.2

O valor exato de $\tan (60)$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

Etapa 4.3

O valor exato de $\tan (60)$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Etapa 4.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Etapa 6.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.2

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 7.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Etapa 8

Reescreva ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9

Expanda $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Etapa 10.1.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Etapa 10.1.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Etapa 10.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Etapa 10.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 11.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Etapa 12

Reescreva $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Etapa 14

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$