Trigonometria Exemplos

${(1 + i)}^{4}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Etapa 2.1.9

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Etapa 2.1.10

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Etapa 2.1.13

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.13.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.13.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.13.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $6$ de $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Etapa 2.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $4 i$ de $4 i$ .

$- 4 + 0$

Etapa 2.2.4

Some $- 4$ e $0$ .

$- 4$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 4$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Etapa 6.3

Some $0$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Etapa 6.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 4$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{0}{- 4}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $π$ .

$θ = π$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = π$ e $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$