Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Multiplique $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.6

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.1

Mova $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 1.6.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

Etapa 1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.5

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.6

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Substitua $2 \cos^{2} (x)$ por $2 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.3.1

Some $2$ e $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 3 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Etapa 5.2.5

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.5.1

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 5.2.5.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 5.2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.2.7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 5.2.7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.2.7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.7.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.2.7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 5.2.10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.10.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.10.4

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.2.10.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.10.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.10.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.10.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.10.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 5.2.10.4.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.10.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 5.2.11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.11.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.11.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 5.2.11.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.11.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 5.2.11.4.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 5.2.11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.11.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.11.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 5.2.11.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.11.6.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.11.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.11.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.11.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.11.6.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 5.2.11.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 5.2.11.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 5.2.11.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.13

Consolide as soluções.

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Etapa 5.2.13.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.13.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

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Etapa 7.1

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.2

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$