Trigonometria Exemplos

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Etapa 1

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 2

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Etapa 3

Obtenha a tangente inversa para resolver a equação de $θ$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan^{-1} (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 4

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Etapa 4.3

Some $9$ e $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Etapa 4.4

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $9$ de $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Etapa 4.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$R = 3 \sqrt{2}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Etapa 6

Divida cada termo em $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $3 \sqrt{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Divida $\sin (x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 6.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 6.3.2.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 6.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.3.2.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.3.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Etapa 6.3.2.7.5

Avalie o expoente.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

Avalie $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Etapa 9.2

Some $0.23794112$ e $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Subtraia $0.23794112$ de $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 11.2.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.2

Some $2.90365152$ e $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Etapa 12

Encontre o período de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13

O período da função $\sin (x - \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$