Trigonometria Exemplos

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\tan (2 x)$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco duplo da tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Etapa 3

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 3.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ como ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Etapa 4.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Etapa 4.2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Etapa 4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Etapa 4.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

Etapa 4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Etapa 4.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

Etapa 4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 4.6

Combine.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 5

Reordene os termos.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ como $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ é uma identidade