Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.2

Expanda $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.4

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.5.3.1.4.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.3.2

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.4

Reescreva $\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.5.4.1

Reagrupe os termos.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.4.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.4.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $2$ de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.5.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.5.4.4.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $1 + \cos (x)$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Etapa 3

Reescreva $\frac{2}{\sin (x)}$ como $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$ é uma identidade