Trigonometria Exemplos

$\tan (15)$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $15$ pode ser dividido em $60 - 45$ .

$\tan (60 - 45)$

Etapa 2

Use a fórmula da diferença da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Etapa 3

Remova os parênteses.

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\tan (60)$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\tan (60)$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}$

Etapa 5.2

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Etapa 5.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Etapa 7.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 8.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 8.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 8.5

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 8.6

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Etapa 8.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 8.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Etapa 9

Reescreva ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10

Expanda $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 11.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 11.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Etapa 11.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Etapa 11.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Etapa 11.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 11.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Etapa 11.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Etapa 11.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Etapa 11.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Etapa 11.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Etapa 11.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Etapa 11.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.3

Subtraia $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Etapa 12.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 13

Reescreva $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ como $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 14

Aplique a propriedade distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Etapa 15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Etapa 16

Multiplique $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Etapa 16.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Etapa 17

Aplique a propriedade distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Etapa 18

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$