Trigonometria Exemplos

$\tan (75)$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $75$ pode ser dividido em $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

Etapa 2

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 3.2

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Etapa 8.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.5

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $3 \sqrt{3} + 3$ e $6$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5.3

Fatore $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.5.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.2

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $2$ .

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Etapa 10.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.4.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Etapa 10.4.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Etapa 10.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Etapa 10.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 10.4.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$