Trigonometria Exemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 2.2

Expanda $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Etapa 2.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2.3.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2.4

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 2.6.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$ é uma identidade