Trigonometria Exemplos

2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)$

Etapa 1

Subtraia

\sqrt{2} \cos (x)

$\sqrt{2} \cos (x)$ dos dois lados da equação.

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Etapa 2

Fatore

\cos (x)

$\cos (x)$ de

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore

\cos (x)

$\cos (x)$ de

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore

\cos (x)

$\cos (x)$ de

- \sqrt{2} \cos (x)

$- \sqrt{2} \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Etapa 2.3

Fatore

\cos (x)

$\cos (x)$ de

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})$ .

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Etapa 4

Defina

\cos (x)

$\cos (x)$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina

\cos (x)

$\cos (x)$ como igual a

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro do cosseno.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

O valor exato de

\arccos (0)

$\arccos (0)$ é

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

2 π

$2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Para escrever

2 π

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Combine

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Subtraia

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função

\cos (x)

$\cos (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 5

Defina

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ como igual a

0

$0$ .

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ aos dois lados da equação.

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ por

2

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ por

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida

\sin (x)

$\sin (x)$ por

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro do seno.

x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

O valor exato de

\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.6

Simplifique

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

Combine

π

$π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.3.1

Mova

4

$4$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.2.6.3.2

Subtraia

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 5.2.8

O período da função

\sin (x)

$\sin (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ verdadeiro.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 7

Consolide

\frac{π}{2} + 2 π n

$\frac{π}{2} + 2 π n$ e

\frac{3 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em

\frac{π}{2} + π n

$\frac{π}{2} + π n$ .

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$