Trigonometria Exemplos

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Etapa 2.2

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Etapa 2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.5.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Etapa 2.6.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Etapa 2.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Etapa 2.6.4

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ como $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ é uma identidade