Trigonometria Exemplos

$2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$

Etapa 1

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{π}{3} x)$ por $1$ .

$\sin (\frac{π}{3} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{π}{3} x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{π}{3}$ e $x$ .

$\frac{π x}{3} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π x}{3} = \frac{π}{4}$

Etapa 5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Simplifique $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

Simplifique $\frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 (\frac{1}{4})$

Etapa 6.2.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Etapa 8.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 8.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 8.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{4}$

Etapa 8.2.2.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 8.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.2.1.4.1.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Etapa 8.2.2.1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Etapa 8.2.2.1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 3 (\frac{3}{4})$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Combine $3$ e $\frac{3}{4}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4}$

Etapa 8.2.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{9}{4}$

Etapa 9

Encontre o período de $\sin (\frac{π}{3} x)$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Etapa 9.3

$\frac{π}{3}$ é aproximadamente $1.04719755$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{3}{π}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 3$

Etapa 9.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$

Etapa 10

O período da função $\sin (\frac{π}{3} x)$ é $6$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $6$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3}{4} + 6 n, \frac{9}{4} + 6 n$ , para qualquer número inteiro $n$