Trigonometria Exemplos

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 = 7$

Etapa 1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 - 7 = 0$

Etapa 2

Subtraia $7$ de $10$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e cuja soma é $b = 10$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $10$ de $10 \tan (θ)$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $10$ como $4$ mais $6$

$8 \tan^{2} (θ) + (4 + 6) \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 \tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) + 3 (2 \tan (θ) + 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \tan (θ) + 1$ .

$(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $2 \tan (θ) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 \tan (θ) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 \tan (θ) + 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \tan (θ) = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 \tan (θ) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \tan (θ) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

Avalie $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$θ = - 26.56505117$

Etapa 5.2.5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 26.56505117 - 180$

Etapa 5.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.6.1

Some $360 °$ a $- 26.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

Etapa 5.2.6.2

O ângulo resultante de $153.43494882 °$ é positivo e coterminal com $- 26.56505117 - 180$ .

$θ = 153.43494882 °$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 5.2.8

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.8.1

Some $180$ com $- 26.56505117$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 26.56505117 + 180$

Etapa 5.2.8.2

Subtraia $26.56505117$ de $180$ .

$153.43494882$

Etapa 5.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 153.43494882$

Etapa 5.2.9

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $4 \tan (θ) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $4 \tan (θ) + 3$ como igual a $0$ .

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $4 \tan (θ) + 3 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 \tan (θ) = - 3$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $4 \tan (θ) = - 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $4 \tan (θ) = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (θ) = - \frac{3}{4}$

Etapa 6.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- \frac{3}{4})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

Avalie $\arctan (- \frac{3}{4})$ .

$θ = - 36.86989764$

Etapa 6.2.5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 36.86989764 - 180$

Etapa 6.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.6.1

Some $360 °$ a $- 36.86989764 - 180 °$ .

$θ = - 36.86989764 - 180 ° + 360 °$

Etapa 6.2.6.2

O ângulo resultante de $143.13010235 °$ é positivo e coterminal com $- 36.86989764 - 180$ .

$θ = 143.13010235 °$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 6.2.8

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.2.8.1

Some $180$ com $- 36.86989764$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 36.86989764 + 180$

Etapa 6.2.8.2

Subtraia $36.86989764$ de $180$ .

$143.13010235$

Etapa 6.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 143.13010235$

Etapa 6.2.9

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 143.13010235 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$ verdadeiro.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$