Trigonometria Exemplos

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Some $4 \sin (θ)$ aos dois lados da equação.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Etapa 1.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Some $- 17 \sin (θ)$ e $4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $9$ de $14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Etapa 3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $- 13$ de $- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $- 13$ como $- 3$ mais $- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Etapa 3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Etapa 3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Etapa 5

Defina $2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 \sin (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (θ) = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $30$ .

$θ = 30$

Etapa 5.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Etapa 5.2.6

Subtraia $30$ de $180$ .

$θ = 150$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.8

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $3 \sin (θ) - 5$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $3 \sin (θ) - 5$ como igual a $0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $3 \sin (θ) - 5 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 \sin (θ) = 5$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $3 \sin (θ) = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $3 \sin (θ) = 5$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.3

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{5}{3}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ verdadeiro.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$