Trigonometria Exemplos

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Some $\sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.3

Some $2 \sec (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 6

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 6.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 6.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.2

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.3

Combine.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Reescreva $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ como $2 \cot (x) \csc (x)$ .

$2 \cot (x) \csc (x)$

Etapa 9

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$ é uma identidade