Trigonometria Exemplos

$\csc (θ) = 5$ with $\frac{π}{2} < θ < π$

Etapa 1

Use a definição da cossecante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{oposto}$

Etapa 2

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Negative $\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Adjacente $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

Adjacente $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - 1}$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $25$ .

Adjacente $= - \sqrt{24}$

Etapa 4.6

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $4$ de $24$ .

Adjacente $= - \sqrt{4 (6)}$

Etapa 4.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

Adjacente $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Etapa 4.7

Elimine os termos abaixo do radical.

Adjacente $= - (2 \sqrt{6})$

Etapa 4.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

Adjacente $= - 2 \sqrt{6}$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Etapa 6

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 6.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

Etapa 7.3

Simplifique o valor de $\tan (θ)$ .

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Etapa 7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Etapa 7.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 7.3.3.2

Mova $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 7.3.3.4

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 7.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 7.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 7.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.3.3.7.5

Avalie o expoente.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

Etapa 8.3

Divida $- 2 \sqrt{6}$ por $1$ .

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

Etapa 9

Encontre o valor da secante.

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Etapa 9.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\sec (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 9.3.3.2

Mova $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 9.3.3.4

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Etapa 9.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 9.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Etapa 9.3.3.7.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Etapa 9.3.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$