Trigonometria Exemplos

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$

Etapa 1

Expanda $(x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{3} - 2 = x \cdot x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{1} x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 2 = x^{1 + 2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x \cdot x + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} (x \cdot x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.4

Multiplique $- \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x)$ .

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Etapa 2.4.1

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} \sqrt[3]{2}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.4.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{1}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{1 + 1} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{2} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2^{2}} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

Etapa 2.7

Multiplique $- \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$ .

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Etapa 2.7.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{4 \cdot 2}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{8}$

Etapa 2.8

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2^{3}}$

Etapa 2.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 1 \cdot 2$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$

Etapa 3

Combine os termos opostos em $x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $\sqrt[3]{2} x^{2}$ de $\sqrt[3]{2} x^{2}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} + 0 - \sqrt[3]{4} x - 2$

Etapa 3.2

Some $x^{3} + x \sqrt[3]{4}$ e $0$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} x - 2$

Etapa 3.3

Reorganize os fatores nos termos $x \sqrt[3]{4}$ e $- \sqrt[3]{4} x$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - x \sqrt[3]{4} - 2$

Etapa 3.4

Subtraia $x \sqrt[3]{4}$ de $x \sqrt[3]{4}$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} + 0 - 2$

Etapa 3.5

Some $x^{3}$ e $0$ .

$x^{3} - 2 = x^{3} - 2$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ é uma identidade.