Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 5.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $45$ .

$θ = 45$

Etapa 5.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 45$

Etapa 5.4

Subtraia $45$ de $360$ .

$θ = 315$

Etapa 5.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.6

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $135$ .

$θ = 135$

Etapa 6.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 - 135$

Etapa 6.4

Subtraia $135$ de $360$ .

$θ = 225$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 6.6

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$θ = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$