Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Etapa 2

Combine.

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.2

Multiplique $\sin (θ)$ por $1$ .

$\frac{\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Fatore $\sin (θ)$ de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 6.1.3

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

$\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ é uma identidade