Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Etapa 3

Converta em senos e cossenos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Etapa 3.2

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Escreva $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Some as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para escrever $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Escreva $\sin^{2} (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Some as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Para escrever $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 9

Escreva $\cos^{2} (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 10

Some as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Para escrever $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 10.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 11

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 12

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.3

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Mova ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.4

Some $- {\cos (x)}^{4}$ e ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.2.5

Some ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ e $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 13.3

Multiplique $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 14

Agora, considere o lado direito da equação.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 15

Converta em senos e cossenos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Etapa 15.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 15.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 15.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 17

Some as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Para escrever $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 17.2

Para escrever $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 17.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Multiplique $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Etapa 17.3.3

Reordene os fatores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 17.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 18

Multiplique ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ somando os expoentes.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 19

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ é uma identidade