Trigonometria Exemplos

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $3$ de $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Etapa 2

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ pelo conjugado de $0.8660254 + 0.5 i$ para tornar o denominador real.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Etapa 3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.5

Expanda $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.1

Multiplique $0.8660254$ por $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.2

Multiplique $- 0.5 i$ por $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.3

Multiplique $0.8660254$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.4

Mova $1.5$ para a esquerda de $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.5

Multiplique $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.5.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.5.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.5.5

Multiplique $- 0.5$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.1.7

Multiplique $- 0.8660254$ por $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.2

Some $0.8660254$ e $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.2.6.3

Some $- 0.5 i$ e $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Expanda $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $0.8660254$ por $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 0.5$ por $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $0.8660254$ por $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 0.5$ por $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Etapa 3.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Etapa 3.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Etapa 3.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Etapa 3.3.2.9

Some $- 0.4330127 i$ e $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0$ por $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $- 0.25$ por $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Etapa 3.3.4

Some $0.75$ e $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Etapa 3.3.5

Some $0.75$ e $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Etapa 4

Reescreva $1.7320508$ como $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Etapa 5

Fatore $1$ de $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Etapa 6

Fatore $1$ de $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Etapa 7

Fatore $1$ de $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Etapa 8

Separe as frações.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida $1$ por $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Etapa 9.2

Divida $1.7320508 + 1 i$ por $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Etapa 11

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $1$ por $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Etapa 11.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Etapa 12

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 13

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 14

Substitua os valores reais de $a = 1.7320508$ e $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Etapa 15

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Etapa 15.2

Eleve $1.7320508$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Etapa 15.3

Some $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Etapa 15.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 15.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 2$

Etapa 16

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Etapa 17

Como a tangente inversa de $\frac{1}{1.7320508}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 18

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{6}$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$