Trigonometria Exemplos

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 4.3

Multiplique por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}}$

Etapa 4.4

Separe as frações.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 4.5

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1} \cdot \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Divida ${(1 - \sin (x))}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \sin (x))}^{2} \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.6.2

Reescreva ${(1 - \sin (x))}^{2}$ como $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.7

Expanda $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.2

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 4.8.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.8.2

Subtraia $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.9

Aplique a propriedade distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.10.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 4.10.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}$

Etapa 4.10.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}$

Etapa 4.10.5

Combine $\sin^{2} (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 4.11

Converta de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ em $\tan^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 4.12

Some $0$ e $\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})$

Etapa 6

Substitua os valores de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})$ e $| z | = \sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})))$