Trigonometria Exemplos

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 = - 8 \tan (θ) + 6$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Some $8 \tan (θ)$ aos dois lados da equação.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) = 6$

Etapa 1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) - 6 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Some $- 5 \tan (θ)$ e $8 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 4 + 3 \tan (θ) - 6 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$2 \tan^{2} (θ) - 2 + 3 \tan (θ) = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Etapa 3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $3$ de $3 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$2 \tan^{2} (θ) + (- 1 + 4) \tan (θ) - 2 = 0$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Etapa 3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\tan (θ) (2 \tan (θ) - 1) + 2 (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Etapa 3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \tan (θ) - 1$ .

$(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

$\tan (θ) + 2 = 0$

Etapa 5

Defina $2 \tan (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 \tan (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 \tan (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \tan (θ) = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 \tan (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \tan (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

Avalie $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Etapa 5.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 180 + 26.56505117$

Etapa 5.2.6

Some $180$ e $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 5.2.8

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\tan (θ) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $\tan (θ) + 2$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\tan (θ) + 2 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\tan (θ) = - 2$

Etapa 6.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- 2)$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Avalie $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Etapa 6.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.5.1

Some $360 °$ a $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Etapa 6.2.5.2

O ângulo resultante de $116.56505117 °$ é positivo e coterminal com $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Etapa 6.2.6

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 6.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 6.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 6.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 6.2.6.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 6.2.7

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.2.7.1

Some $180$ com $- 63.43494882$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 63.43494882 + 180$

Etapa 6.2.7.2

Subtraia $63.43494882$ de $180$ .

$116.56505117$

Etapa 6.2.7.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 116.56505117$

Etapa 6.2.8

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$ verdadeiro.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$θ = 26.56505117 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$