Trigonometria Exemplos

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Etapa 1

Use a definição de secante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adjacente}$

Etapa 2

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = - \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Negative $\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Oposto $= - \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

Oposto $= - \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Oposto $= - \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

Oposto $= - \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

Oposto $= - \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

Oposto $= - \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

Oposto $= - \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

Oposto $= - \sqrt{5 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Oposto $= - \sqrt{5 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $2$ .

Oposto $= - \sqrt{5 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 4.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

Oposto $= - \sqrt{5 - 1}$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $5$ .

Oposto $= - \sqrt{4}$

Etapa 4.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

Oposto $= - \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

Oposto $= - 1 \cdot 2$

Etapa 4.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

Oposto $= - 2$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.3

Simplifique o valor de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 5.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 6

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 6.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3

Simplifique o valor de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 6.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 6.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.3

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$\tan (θ) = 2$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 9.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Etapa 9.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$