Trigonometria Exemplos

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

Etapa 1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

Etapa 2

Divida cada termo em $4 \csc^{2} (θ) = 25$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $4 \csc^{2} (θ) = 25$ por $4$ .

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\csc^{2} (θ)$ por $1$ .

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Etapa 7

Resolva $θ$ em $\csc (θ) = \frac{5}{2}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

Avalie $arccsc (\frac{5}{2})$ .

$θ = 23.57817847$

Etapa 7.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 23.57817847$

Etapa 7.4

Subtraia $23.57817847$ de $180$ .

$θ = 156.42182152$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 7.6

O período da função $\csc (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $θ$ em $\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Avalie $arccsc (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 23.57817847$

Etapa 8.3

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

Etapa 8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.4.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 23.57817847 + 180 °$ .

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

Etapa 8.4.2

O ângulo resultante de $203.57817847 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 23.57817847 + 180$ .

$θ = 203.57817847 °$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 8.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.6.1

Some $360$ com $- 23.57817847$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 23.57817847 + 360$

Etapa 8.6.2

Subtraia $23.57817847$ de $360$ .

$336.42182152$

Etapa 8.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 336.42182152$

Etapa 8.7

O período da função $\csc (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as soluções.

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Etapa 10.1

Consolide $23.57817847 + 360 n$ e $203.57817847 + 360 n$ em $23.57817847 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Consolide $156.42182152 + 360 n$ e $336.42182152 + 360 n$ em $156.42182152 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$