Trigonometria Exemplos

$\csc (θ) = 4$ , $\cot (θ) < 0$

Etapa 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

A solução está no segundo quadrante.

Etapa 2

Use a definição da cossecante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{oposto}$

Etapa 3

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 4

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 5.1

Negative $\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Adjacente $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

Adjacente $= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 - 1}$

Etapa 5.5

Subtraia $1$ de $16$ .

Adjacente $= - \sqrt{15}$

Etapa 6

Encontre o valor do seno.

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Etapa 6.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

Etapa 7

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 7.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Etapa 8

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\tan (θ)$ .

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 8.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Etapa 8.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.3.2

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.3.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Etapa 8.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Etapa 8.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Etapa 9

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 9.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

Etapa 9.3

Divida $- \sqrt{15}$ por $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

Etapa 10

Encontre o valor da secante.

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Etapa 10.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 10.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Etapa 10.3

Simplifique o valor de $\sec (θ)$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Etapa 10.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 10.3.3.2

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 10.3.3.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 10.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Etapa 10.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Etapa 10.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Etapa 11

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$