Trigonometria Exemplos

$\sqrt{3} + 3 i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \sqrt{3}$ e $b = 3$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Etapa 4.3

Some $9$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Etapa 4.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Etapa 4.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 4.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{3}{\sqrt{3}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{3}{\sqrt{3}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{3}$ e $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$