Trigonometria Exemplos

$- \frac{1}{1 + i}$

Etapa 1

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{1 + 1 i}$ pelo conjugado de $1 + 1 i$ para tornar o denominador real.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Etapa 2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Etapa 2.2

Multiplique $1 - i$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Etapa 2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.1

Expanda $(1 + 1 i) (1 - i)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Etapa 2.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Etapa 2.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Etapa 2.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Etapa 2.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Etapa 2.3.2.9

Some $- 1 i$ e $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Etapa 2.3.2.10

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Etapa 2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Etapa 3

Divida a fração $\frac{1 - i}{2}$ em duas frações.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Etapa 6

Multiplique $- - \frac{i}{2}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{i}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Etapa 7

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 8

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 9

Substitua os valores reais de $a = - \frac{1}{2}$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 10

Encontre $| z |$ .

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Etapa 10.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 10.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 10.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 10.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 10.4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 10.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 10.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 10.5.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Etapa 10.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Etapa 10.5.6

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Etapa 10.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 10.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 10.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 10.6.2.2

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 10.6.2.3

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.7

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 10.8

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 10.9

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 10.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 10.10.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 10.10.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 10.10.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 10.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.10.5

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 10.10.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 10.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.10.6.5

Avalie o expoente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12

Como a tangente inversa de $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 13

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$