Trigonometria Exemplos

$\sec (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Etapa 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The secant function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

A solução está no quarto quadrante.

Etapa 2

Use a definição de secante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adjacente}$

Etapa 3

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 4

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 5.1

Negative $\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Oposto $= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Oposto $= - \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

Oposto $= - \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Oposto $= - \sqrt{4 - 1}$

Etapa 5.5

Subtraia $1$ de $4$ .

Oposto $= - \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre o valor do seno.

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Etapa 6.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 7.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Etapa 8.3

Divida $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Etapa 9

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 9.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 9.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\cot (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Etapa 9.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cot (θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 10.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 10.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Etapa 10.3

Simplifique o valor de $\csc (θ)$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 10.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 10.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 10.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 10.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 10.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = 2$

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$