Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (θ) + 3 \sin (θ) = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (θ)$ .

$2 u^{2} + 3 u = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u$ de $2 u^{2} + 3 u$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $u$ de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) + 3 u = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $u$ de $3 u$ .

$u (2 u) + u \cdot 3 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $u$ de $u (2 u) + u \cdot 3$ .

$u (2 u + 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (2 \sin (θ) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$2 \sin (θ) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\sin (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 3.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 0$

Etapa 3.2.4

Subtraia $0$ de $180$ .

$θ = 180$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 3.2.6

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 360 n, 180 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $2 \sin (θ) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $2 \sin (θ) + 3$ como igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 \sin (θ) + 3 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (θ) = - 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{3}{2}$

Etapa 4.2.3

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (θ) (2 \sin (θ) + 3) = 0$ verdadeiro.

$θ = 360 n, 180 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$θ = 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$