Trigonometria Exemplos

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Reescreva $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Etapa 1.2

Reescreva $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin^{2} (x)$ e $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Etapa 4

Multiplique $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 5

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 6

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 7

Substitua os valores reais de $a = \sin^{2} (x)$ e $b = - 1 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8

Encontre $| z |$ .

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Etapa 8.1

Reescreva $- 1 \cos^{2} (x)$ como $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a regra do produto a $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.4

Multiplique ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.5

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 8.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 8.6

Multiplique os expoentes em ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 8.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 8.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

Etapa 9

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Etapa 10

Substitua os valores de $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ e $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ .

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$