Trigonometria Exemplos

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 1$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) = 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 u^{2} - u - 1 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.1.3

Some $1$ e $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.3

Some $1$ e $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Etapa 6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.1.3

Some $1$ e $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Etapa 7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 9

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 50.13813146$

Etapa 11.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = 180 - 50.13813146$

Etapa 11.4

Subtraia $50.13813146$ de $180$ .

$x = 129.86186853$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 11.6

O período da função $\sin (x)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 25.73812338$

Etapa 12.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = 180 + 25.73812338$

Etapa 12.4

Some $180$ e $25.73812338$ .

$x = 205.73812338$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 12.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.6.1

Some $360$ com $- 25.73812338$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 25.73812338 + 360$

Etapa 12.6.2

Subtraia $25.73812338$ de $360$ .

$334.26187661$

Etapa 12.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 334.26187661$

Etapa 12.7

O período da função $\sin (x)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$x = 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n, 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$