Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (θ) + 5 \tan (θ) + 6 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \tan (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\tan (θ)$ .

$u^{2} + 5 u + 6 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + 5 u + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 2) (u + 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $\tan (θ) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\tan (θ) + 2$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\tan (θ) + 2 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\tan (θ) = - 2$

Etapa 3.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- 2)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Avalie $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Etapa 3.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.5.1

Some $360 °$ a $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Etapa 3.2.5.2

O ângulo resultante de $116.56505117 °$ é positivo e coterminal com $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 3.2.7

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.7.1

Some $180$ com $- 63.43494882$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 63.43494882 + 180$

Etapa 3.2.7.2

Subtraia $63.43494882$ de $180$ .

$116.56505117$

Etapa 3.2.7.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 116.56505117$

Etapa 3.2.8

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\tan (θ) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (θ) + 3$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (θ) + 3 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\tan (θ) = - 3$

Etapa 4.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- 3)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Avalie $\arctan (- 3)$ .

$θ = - 71.56505117$

Etapa 4.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 71.56505117 - 180$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.2.5.1

Some $360 °$ a $- 71.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 71.56505117 - 180 ° + 360 °$

Etapa 4.2.5.2

O ângulo resultante de $108.43494882 °$ é positivo e coterminal com $- 71.56505117 - 180$ .

$θ = 108.43494882 °$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 4.2.7

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 4.2.7.1

Some $180$ com $- 71.56505117$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 71.56505117 + 180$

Etapa 4.2.7.2

Subtraia $71.56505117$ de $180$ .

$108.43494882$

Etapa 4.2.7.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 108.43494882$

Etapa 4.2.8

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 108.43494882 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$ verdadeiro.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$