Trigonometria Exemplos

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Escreva $\tan (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Etapa 2.2

Escreva $\tan (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $\sin (θ)$ de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.2

Combine $\sin (θ)$ e $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.4

Combine $\sin (θ)$ e $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 3.6

Combine.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $\sin (θ)$ e ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $\sin (θ)$ de $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Etapa 4

Agora, considere o lado esquerdo da equação.

$\cot (θ) + \csc (θ)$

Etapa 5

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 5.1

Escreva $\cot (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

Etapa 5.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ é uma identidade