Trigonometria Exemplos

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Etapa 1

Use a definição de secante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adjacente}$

Etapa 2

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

Oposto $= \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Oposto $= \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

Oposto $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

Oposto $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

Oposto $= \sqrt{2 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Avalie o expoente.

Oposto $= \sqrt{2 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

Oposto $= \sqrt{2 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Oposto $= \sqrt{2 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $2$ .

Oposto $= \sqrt{2 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 4.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

Oposto $= \sqrt{2 - 1}$

Etapa 4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

Oposto $= \sqrt{1}$

Etapa 4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

Oposto $= 1$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o valor de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 6.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o valor de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 6.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$\tan (θ) = - 1$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{1}$

Etapa 8.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$\cot (θ) = - 1$

Etapa 9

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 9.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Etapa 9.3

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = - 1$

$\cot (θ) = - 1$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

$\csc (θ) = \sqrt{2}$