Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

Etapa 2.3

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Etapa 2.4

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{\cos (x)}$ para o numerador.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.3.2

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.4.2

Reescreva $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.5

Expanda $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\sin^{2} (x) - 1$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ é uma identidade