Trigonometria Exemplos

$2 \sin (2 x) + \sqrt{3} = 0$

Etapa 1

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (2 x) = - \sqrt{3}$

Etapa 2

Divida cada termo em $2 \sin (2 x) = - \sqrt{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 \sin (2 x) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 7.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Etapa 7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.2.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 8

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.1

Some $π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Etapa 9.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.3

Combine frações.

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Etapa 9.3.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Etapa 9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 10

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$