Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (θ) + \csc (θ) - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \csc (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\csc (θ)$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

$\csc (θ) + 2 = 0$

Etapa 3

Defina $\csc (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\csc (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\csc (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\csc (θ) = 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

O valor exato de $arccsc (1)$ é $90$ .

$θ = 90$

Etapa 3.2.4

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 90$

Etapa 3.2.5

Subtraia $90$ de $180$ .

$θ = 90$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 3.2.7

O período da função $\csc (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 90 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\csc (θ) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\csc (θ) + 2$ como igual a $0$ .

$\csc (θ) + 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\csc (θ) + 2 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\csc (θ) = - 2$

Etapa 4.2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (- 2)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- 30$ .

$θ = - 30$

Etapa 4.2.4

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 + 30 + 180$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.2.5.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Etapa 4.2.5.2

O ângulo resultante de $210 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 4.2.7

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 4.2.7.1

Some $360$ com $- 30$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 30 + 360$

Etapa 4.2.7.2

Subtraia $30$ de $360$ .

$330$

Etapa 4.2.7.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 330$

Etapa 4.2.8

O período da função $\csc (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$ verdadeiro.

$θ = 90 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$θ = 90 + 120 n$ , para qualquer número inteiro $n$