Trigonometria Exemplos

$\sec (θ) = - 3$ , $\tan (θ) > 0$

Etapa 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

A solução está no terceiro quadrante.

Etapa 2

Use a definição de secante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adjacente}$

Etapa 3

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 4

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 5.1

Negative $\sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Oposto $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

Oposto $= - \sqrt{9 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

Oposto $= - \sqrt{9 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Oposto $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 5.3.2

Some $1$ e $2$ .

Oposto $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 5.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

Oposto $= - \sqrt{9 - 1}$

Etapa 5.5

Subtraia $1$ de $9$ .

Oposto $= - \sqrt{8}$

Etapa 5.6

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $4$ de $8$ .

Oposto $= - \sqrt{4 (2)}$

Etapa 5.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

Oposto $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.7

Elimine os termos abaixo do radical.

Oposto $= - (2 \sqrt{2})$

Etapa 5.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

Oposto $= - 2 \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre o valor do seno.

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Etapa 6.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 7

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 7.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

Etapa 8

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\tan (θ)$ .

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 8.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$ como $- (- 2 \sqrt{2})$ .

$\tan (θ) = - (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

Etapa 9

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 9.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 9.3.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 9.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 9.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.3.7.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 10

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 10.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 10.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Etapa 10.3

Simplifique o valor de $\csc (θ)$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 10.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.3.1

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.3.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 10.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 10.3.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 10.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 10.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 10.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.3.7.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 11

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$