Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 3

Fatore.

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Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Etapa 5

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 5.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.4

Multiplique $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 6.1.2.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.2

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Etapa 6.3

Some $- {\sin (x)}^{2}$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 7

Escreva $- \sin^{2} (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8

Some as frações.

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Etapa 8.1

Para escrever $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10

Agora, considere o lado esquerdo da equação.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 11

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 11.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Etapa 12

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Etapa 13

Escreva $- \sin^{2} (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Etapa 14

Some as frações.

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Etapa 14.1

Para escrever $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 14.2

Multiplique $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 15

Simplifique o numerador.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 16

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ é uma identidade