Trigonometria Exemplos

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{1 - (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + (- 1 \cdot 1 - - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

$\frac{1 + (- 1 + \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 1 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 9

Agora, considere o lado direito da equação.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 10

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 10.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 11

Escreva $\cos^{2} (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 12

Some as frações.

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Etapa 12.1

Para escrever $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 13

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 14

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ é uma identidade