Trigonometria Exemplos

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Etapa 2.3

Aplique a identidade recíproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Etapa 2.4

Aplique a identidade recíproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1.1

Para escrever $\frac{1}{\cos (t)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.2

Para escrever $\frac{1}{\sin (t)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos (t) \sin (t)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.5.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (t)}$ por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (t)}$ por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (t)}$ por $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Etapa 2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $\cos (t) \sin (t)$ .

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Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Etapa 2.5.5

Reescreva ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ como $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Etapa 2.5.6

Expanda $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Etapa 2.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Etapa 2.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Etapa 2.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 3.1

Mova $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Etapa 3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Etapa 4

Reescreva $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ como $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ .

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ é uma identidade