Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Etapa 3

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 3.1

Escreva $\cot (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Etapa 3.2

Escreva $\tan (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Etapa 3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.3

Combine.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum de ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum de ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Etapa 4.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

Etapa 4.3

Some $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ como $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ é uma identidade