Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (θ) + 3 \sin (θ) - 4 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (θ)$ .

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + 3 u - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (θ)$ .

$(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 4 = 0$

Etapa 3

Defina $\sin (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\sin (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\sin (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (θ) = 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $90$ .

$θ = 90$

Etapa 3.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 90$

Etapa 3.2.5

Subtraia $90$ de $180$ .

$θ = 90$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 3.2.7

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 90 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\sin (θ) + 4$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (θ) + 4$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) + 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (θ) + 4 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$\sin (θ) = - 4$

Etapa 4.2.2

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 4$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$ verdadeiro.

$θ = 90 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$