Trigonometria Exemplos

$\csc (θ) = - 4$

Etapa 1

Use a definição da cossecante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{oposto}$

Etapa 2

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Negative $\sqrt{{(4)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Adjacente $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Adjacente $= - \sqrt{16 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 4.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

Adjacente $= - \sqrt{16 - 1}$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $16$ .

Adjacente $= - \sqrt{15}$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 6.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{15}}$

Etapa 7.3

Simplifique o valor de $\tan (θ)$ .

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Etapa 7.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Etapa 7.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 7.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Etapa 7.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

Etapa 7.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 8.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{15}}{1}$

Etapa 8.3.2

Divida $\sqrt{15}$ por $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

Etapa 9

Encontre o valor da secante.

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Etapa 9.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\sec (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = - 4$