Trigonometria Exemplos

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 1

Use a definição de seno para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sin (θ) = \frac{oposto}{hipotenusa}$

Etapa 2

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Negative $\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$ .

Adjacente $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Etapa 4.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Etapa 4.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 4.5.4.2

Reescreva a expressão.

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Etapa 4.5.5

Avalie o expoente.

Adjacente $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Etapa 4.6

Multiplique $- (4 \cdot 5)$ .

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Etapa 4.6.1

Multiplique $4$ por $5$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 20}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

Adjacente $= - \sqrt{25 - 20}$

Etapa 4.7

Subtraia $20$ de $25$ .

Adjacente $= - \sqrt{5}$

Etapa 5

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 5.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 6

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 6.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Etapa 6.3

Simplifique o valor de $\tan (θ)$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot 2$

Etapa 6.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\tan (θ) = - 2$

Etapa 7

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 7.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cot (θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8

Encontre o valor da secante.

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Etapa 8.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{5}{- \sqrt{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\sec (θ)$ .

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec (θ) = - \frac{5}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 8.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 8.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 8.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 8.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 8.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 8.3.4.2

Divida $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Etapa 9

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 9.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\csc (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2.2

Mova $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.4

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.3.2.7

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 9.3.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.2.7.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = - 2$

$\cot (θ) = - \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$