Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{2} (θ) - 4 \sin (θ) + 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (θ)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 u$ e $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Etapa 9

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 9.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 10

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$