Trigonometria Exemplos

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Etapa 2

Fatore $\tan^{2} (x)$ de $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ .

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Etapa 2.1

Multiplique por $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)$

Etapa 2.2

Fatore $\tan^{2} (x)$ de $\tan^{4} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Etapa 2.3

Fatore $\tan^{2} (x)$ de $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x))$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 3.1

Reorganize os termos.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Etapa 3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$(\sec^{2} (x) - 1) \sec^{2} (x)$

Etapa 5

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 5.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) \sec^{2} (x)$

Etapa 5.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.4

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.5

Reescreva $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ como $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.7

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.7.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.8

Para escrever $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\cos (x)}^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.9.1

Multiplique $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Etapa 6.9.2

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.9.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}}$

Etapa 6.9.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Etapa 6.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Etapa 6.11

Simplifique o numerador.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 7

Reescreva $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$ como $\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$

Etapa 8

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ é uma identidade